如何理解哈密顿(哈密顿力学)
如何理解哈密顿(哈密顿力学)
哈密顿力学是经典力学的表现形式之一，用广义坐标和广义动量描述运动，用正则方程描述坐标和动量的演化，用哈密顿量来写正则方程。所以，构建一个物理系统，就是构建它的哈密顿量。作为比较，对于牛顿力学就是构建力的表达式，拉格朗日力学就是构建拉氏量。
1、哈密顿正则方程为 （1）式中H称为哈密顿函数，是广义动量pi和广义坐标qi及时间t的函数。H由式 （2）确定。括号外边的角标表示式中的妜i应该用N个方程pi= 解出N 个 妜i为 （E1，E2，…，EN；q1，q2，…，qN；t）的N 个函数，然后代入式（2）就得到哈密顿函数H。
2、哈密顿方程经典力学中一组描写系统运动的一阶微分方程组。是W.R.哈密顿于1834年提出的，又称哈密顿方程或正则方程。名词简介：哈密顿方程是一阶微分方程，因而比拉格朗日方程容易解，因为那个是二阶的。
3、哈密顿正则方程是：pi=Φ/qi，Qi=Φ/Pi，H′=H+Φ/t.。哈密顿方程是一阶微分方程，因而比拉格朗日方程容易解，因为那个是二阶的。
4、哈密尔顿-雅戈比方程（Hamilton-Jacobi equation，HJE） ，是分析力学中用以求解正则方程的一个偏微分方程，是经典力学的一种表述。哈密尔顿-雅戈比方程是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，方程之解描述了系统的行为。
哈密顿原理，是英国数学家W．B．哈密顿1834年发表的动力学中一条适用于完整系统十分重要的变分原理。它可表述为：在N+1维空间（q1，q2，…，qN；t）中，任两点之间连线上动势L（q，t）（见拉格朗日方程）的时间积分以真实运动路线上的值为驻值。变分法的发明使分析力学的建立和扩展有了简便的数学工具。
哈密顿原理可表述为：在N+1维空间（q1，q2，？，qN；t）中，任两点之间连线上动势L（q，t）（见拉格朗日方程）的时间积分以真实运动路线上的值为驻值。亦称最小作用原理.力学中的一个变分原理.拉格朗日函数L是质点组的动能与势能之差，即L=T-V。
哈密顿-雅可比方程：解码时间与空间的秘密： 哈密顿-雅可比方程是解决哈密顿力学问题的黄金钥匙，它描述了坐标与时间的深刻关系。求解过程分为明确写出哈密顿量、解雅可比方程、识别常数，然后求出坐标和动量，这一系列步骤犹如一场优雅的数学舞蹈。特别在不含时的哈密顿量中，作用量简化为一个直观的表达。
哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年建立的经典力学的重新表述。它由拉格朗日力学演变而来，那是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。但它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力学表述。关于这点请参看其数学表述。适合用哈密顿力学表述的动力系统称为哈密顿系统。
数学表述：任何辛流形上的光滑实值函数H可以用来定义一个哈密顿系统。函数H称为哈密顿量或者能量函数。该辛流形则称为相空间。哈密顿量在辛流形上导出一个特殊的矢量场，称为辛矢量场。该辛矢量场，称为哈密顿矢量场，导出一个流形上的哈密顿流。
在定常约束的舞台下，动能以广义速度的巧妙形式呈现。在保守体系中，欧拉齐次定理的魔力赋予我们能量的哈密顿表述：拉氏量不含时间，哈密顿量便是系统的能量，而能量的守恒定律如诗如画。罗斯函数：简化求解的艺术 正则方程虽简化了方程的复杂度，但增加了数量。通过罗斯函数，我们可以巧妙地处理。
1、哈密顿力学是标准的“伽利略加速点运动几何学”的一种力学。不幸的是，后人将其称作是“新几何力学”，这多多少少显示了后人的数学知识和物理学思想的一种令人遗憾的欠缺。哈密顿系统可以理解为时间R上的一个纤维丛E，其纤维Et，t∈R是位置空间。
2、探索哈密顿力学与拉格朗日力学的深度关联与独特之处哈密顿方程的基石： 哈密顿力学的核心是哈密顿量的守恒，它揭示了动力学系统的基本规律。当涉及参数函数时，这种关系通过一个简洁的等式得以体现。罗斯函数的桥梁： 罗斯函数是一种巧妙的桥梁，它在拉格朗日方程和哈密顿方程之间架起了沟通的桥梁。
3、哈密顿原理是力学中的积分变分原理.变分原理提供了一个准则，使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中，将力学系统的真实运动挑选出来，变分原理的这一思想，不仅在力学中，而且在物理学科的其他领域中，都具有重要意义。
1、泊松括号满足所谓雅可比恒等式：这个恒等式告诉我们，守恒量的泊松括号，如果不为0，那么我们得到了一个新的守恒量！其实我们还有点不满足，我们知道哈密顿正则方程在正则变换下，保持不变。
2、哈密顿-雅可比方程：解码时间与空间的秘密： 哈密顿-雅可比方程是解决哈密顿力学问题的黄金钥匙，它描述了坐标与时间的深刻关系。求解过程分为明确写出哈密顿量、解雅可比方程、识别常数，然后求出坐标和动量，这一系列步骤犹如一场优雅的数学舞蹈。特别在不含时的哈密顿量中，作用量简化为一个直观的表达。
3、哈密顿-雅可比方程：揭示守恒的密码 哈密顿-雅可比方程如同一把钥匙，为我们打开守恒量的大门。通过巧妙的选择，我们发现广义动量的守恒，而哈密顿特征函数则成为揭示能量守恒的桥梁。然而，这并不意味着所有找到的守恒量都具有实际意义，真正的宝藏往往隐藏在看似抽象的表达中。
4、变分法是普通适用的数学原理；在物理学各领域，拉氏量和哈氏量又是涵盖面极广的物理量。故而，哈密顿原理是物理学中最基本的原理，或可称作第一性原理。这是经典力学后牛顿发展的主要标志，也是物理学近、现代发展的一块重要里程碑。当然，此原理还是以牛顿力学为其理论基础的。
